凸优化在金融中的应用

on Finance

经济基础决定上层建筑

约束优化问题介绍

约束优化是在一系列约束下求一个目标函数的最值问题。由于目标函数和约束函数的复杂性，求解约束优化问题往往很困难。但是对于较为常见的线性规划问题和一些凸优化问题有固定的求解方法，例如单纯形法。对于约束优化问题，下面给出数学表示：

\[\max_{\textbf{x}} f(\textbf{x})\\ \begin{align} \text{s.t.} \quad&g_i(\textbf{x})\ge 0\\ &\quad\vdots\\ &h_j(\textbf{x})=0\\ \end{align}\]

其中$\textbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是一个$n$维向量，也是优化问题的参数。优化问题既有最大化也有最小化，$f(\textbf{x})$是目标函数，由于最小化$f(\textbf{x})$等价于最大化$-f(\textbf{x})$，因此这里只考虑最大化。s.t.是subject to的缩写，表示约束于下面的一系列不等式约束$g_i(\textbf{x})，i=1,2,\cdots$和等式约束$h_j(\textbf{x}),j=1,2,\cdots$小于等于0的等式约束可以两边乘以-1转换成大于等于0的不等式约束，同理等式约束其实也可以转换成两个不等式约束。

接下来介绍一些常见的约束优化问题类型和解法。如果$f(\textbf{x}),g_i(\textbf{x}),h_j(\textbf{x})$都是线性函数，那么该问题被称为线性规划问题。如果$f(\textbf{x})$是二次函数，$g_i(\textbf{x}),h_j(\textbf{x})$都是线性函数约束，这类约束优化问题被称为二次规划问题。其它类型的约束凸优化问题通常使用拉格朗日乘子法转换成无约束优化问题，用KKT条件去检验。内点法在一些大规模优化问题上往往有意想不到的效果。

线性规划

线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的数学优化方法。线性规划广泛应用于各个领域，如经济学、工程学、运营管理等。

基本概念

  1. 目标函数（Objective Function）：

    • 这是一个线性函数，表示需要最大化或最小化的目标。例如，利润最大化或成本最小化。 $\text{maximize} \quad c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$ 或者 $\text{minimize} \quad c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$

  2. 决策变量（Decision Variables）：

    • 这些是目标函数中的变量，通过调整它们的值来实现目标函数的优化。
  3. 约束条件（Constraints）：

    • 这些是一些线性不等式或等式，表示决策变量需要满足的条件。

      \[a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \le b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \ge b_2\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\]

  4. 非负性约束（Non-negativity Constraints）：

    • 通常，决策变量要求非负，即 ( $x_i \ge 0 $) 对于所有 $i$。

线性规划问题的标准形式

线性规划问题通常表示为以下标准形式：

\[\max_{x} c^T x \\ \begin{array}{ll} \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0 \end{array}\]

，其中：

  • $ c $ 是目标函数的系数向量。
  • $x ​$是决策变量向量。
  • $A $是约束条件的系数矩阵。
  • $b​$ 是约束条件的右侧常数向量。

线性规划的解法

  1. 图解法（Graphical Method）：
    • 适用于两个决策变量的线性规划问题。通过在坐标系中绘制约束条件的直线，找到可行域，并在可行域中找到使目标函数达到最优值的点。
  2. 单纯形法（Simplex Method）：
    • 一种迭代算法，从一个顶点移动到另一个顶点，以逐步找到最优解。单纯形法是解决线性规划问题的经典方法。
  3. 内点法（Interior Point Method）：
    • 一种从可行域内部开始，逐步逼近最优解的算法。内点法在某些大型线性规划问题中表现良好。
  4. 启发式算法和近似算法（Heuristic and Approximation Algorithms）：
    • 在某些复杂的线性规划问题中，可以使用启发式算法或近似算法来快速找到近似解。

单纯形法的基本步骤

  1. 标准化问题：将线性规划问题转换为标准形式。
  2. 引入松弛变量：将所有不等式约束转换为等式约束，增加松弛变量。
  3. 构建初始单纯形表：建立初始单纯形表，包含目标函数和约束条件的系数。
  4. 迭代求解：通过迭代操作，逐步优化目标函数。
    • 选择入基变量：在目标函数系数中选择一个负值最小的变量作为入基变量。
    • 选择出基变量：在约束条件中选择一个变量，使得其比值最小的变量作为出基变量。
    • 更新单纯形表：通过初等行变换更新单纯形表。
  5. 检验最优性：如果所有目标函数系数均非负，则当前解为最优解；否则，继续迭代。

线性规划的应用

  1. 生产规划：确定最优生产组合，以最大化利润或最小化成本。
  2. 资源分配：在给定资源限制下，分配资源以实现最优效果。
  3. 运输问题：确定最优运输方案，以最小化运输成本。
  4. 投资组合优化：在给定风险约束下，选择投资组合以最大化收益。

线性规划是一种强大的优化工具，用于解决各种实际问题。通过定义目标函数、决策变量和约束条件，使用适当的解法（如单纯形法或内点法），可以找到最优解，指导实际决策和操作。

整数规划

整数规划（Integer Programming, IP）是运筹学和优化理论中的一个重要分支。它涉及在一些或全部变量被约束为整数的情况下，最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。整数规划广泛应用于各种实际问题，如资源分配、调度、物流和供应链管理等。

整数规划的基本形式

整数规划问题可以表示为以下标准形式：

\[Maximize (or Minimize)c^Tx\\ s.t. A x \leq b\\ x \in \mathbb{Z}^n\\ x \geq 0\]

其中：

  • $x$ 是决策变量向量。
  • $c$ 是目标函数的系数向量。
  • $A​$ 是约束条件的系数矩阵。
  • $b$ 是约束条件的右端项向量。
  • $\mathbb{Z}^n$表示 $x​$ 是整数向量。

整数规划的分类

根据变量和目标函数的不同，整数规划可以进一步分为以下几类：

  1. 纯整数规划（Pure Integer Programming）: 所有决策变量都必须是整数。
  2. 混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）: 只有部分决策变量被约束为整数，其余变量可以是连续的实数。
  3. 0-1 整数规划（Binary Integer Programming）: 所有决策变量都只能取 0 或 1，这类问题也称为布尔规划或二进制规划。

整数规划的应用

整数规划在很多实际问题中有广泛的应用，包括但不限于：

  1. 资源分配：如分配预算或物资，确保在约束条件下最大化收益或最小化成本。
  2. 生产调度：如确定生产计划、任务分配，确保生产效率和时间约束。
  3. 物流与运输：如确定最佳运输路径，最小化运输成本或时间。
  4. 投资组合优化：如在一定资金约束下选择最佳投资组合，最大化回报。
  5. 设施选址：如在多个备选位置中选择最优设施位置，最小化总成本或最大化服务覆盖。

求解方法

求解整数规划问题通常比求解线性规划问题更为复杂。常用的求解方法包括：

  1. 分支定界法（Branch and Bound）：通过递归地将问题分解为子问题，逐步逼近最优解。
  2. 割平面法（Cutting Plane Method）：通过在解空间中添加线性约束（割平面），逐步缩小解空间。
  3. 启发式和元启发式方法：如遗传算法、模拟退火、禁忌搜索等，通过智能搜索策略快速找到近似最优解。
  4. 混合整数线性规划（MILP）求解器：如 Gurobi、CPLEX、GLPK 等，这些商用或开源求解器实现了高效的算法和优化技术。

二次规划

二次规划（Quadratic Programming, QP）是一种优化问题，它在形式上与线性规划类似，但目标函数是二次的（即包含二次项），而约束条件仍然是线性的。二次规划问题在金融、工程、经济等多个领域有广泛应用，特别是在投资组合优化、机器学习中的支持向量机（SVM）等方面。

二次规划问题的基本概念

  1. 目标函数（Objective Function）：

    • 这是一个二次函数，通常表示为：$\text{minimize} \quad \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x​$

      其中 ( Q ) 是一个对称正定矩阵， ( x ) 是决策变量向量， ( c ) 是线性系数向量。

  2. 约束条件（Constraints）：

    • 约束条件是线性的，表示为：$A x \le b$

      其中 ( A ) 是约束条件的系数矩阵， ( b ) 是约束条件的右侧常数向量。

  3. 非负性约束（Non-negativity Constraints）：

    • 通常，决策变量要求非负，即$x \ge 0​$。

二次规划问题的标准形式

二次规划问题可以表示为以下标准形式：

\[\begin{array}{ll} \text{minimize} & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\ \text{subject to} & A x \le b \\ & x \ge 0 \end{array}\]

二次规划问题的解法

  1. 单纯形法的扩展（Extended Simplex Method）：
    • 这是一种将单纯形法扩展到二次规划问题的方法，通过引入二次项来解决非线性目标函数的问题。
  2. 内点法（Interior Point Method）：
    • 内点法是解决二次规划问题的常用方法。它从可行域内部开始，通过逐步逼近最优解来实现优化。
  3. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers Method）：
    • 通过引入拉格朗日乘子，将约束条件并入目标函数，构建拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的极值问题来找到最优解。
  4. 二次规划的梯度法（Gradient Methods for Quadratic Programming）：
    • 使用梯度下降法或共轭梯度法等迭代算法，通过计算目标函数的梯度来逐步逼近最优解。
  5. 顺序二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）：
    • 这是一种迭代优化方法，通过将非线性优化问题分解为一系列二次规划子问题来逐步逼近最优解。

内点法的基本步骤

  1. 初始点选择：
    • 选择一个初始的可行解，通常位于可行域的内部。
  2. 构建KKT条件：
    • 构建Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件，包括目标函数的梯度、约束条件和拉格朗日乘子。
  3. 迭代求解：
    • 通过迭代方法，逐步调整决策变量和拉格朗日乘子，逼近最优解。
  4. 更新解：
    • 在每一步迭代中，通过求解线性系统来更新当前解，使其逐步逼近最优解。
  5. 检验收敛性：
    • 检查是否满足收敛条件（如KKT条件的残差足够小），如果满足，则终止迭代，得到最优解；否则，继续迭代。

二次规划的应用

  1. 投资组合优化：
    • 在金融领域，通过最小化投资组合的风险（即收益的方差），同时满足预期收益目标和其他约束条件，找到最优投资组合。
  2. 支持向量机（SVM）：
    • 在机器学习中，通过解决二次规划问题，找到支持向量机的最优决策边界，实现分类任务。
  3. 控制工程：
    • 在控制系统设计中，通过最小化系统的能量消耗或偏离目标的误差，找到最优控制策略。
  4. 资源分配：
    • 在经济和工程领域，通过最小化资源的使用成本或最大化资源的利用效率，找到最优资源分配方案。

二次规划是一种重要的优化方法，通过优化二次目标函数并满足线性约束条件，解决各种实际问题。常用的解法包括内点法、拉格朗日乘子法和顺序二次规划等。二次规划在金融、机器学习、控制工程和资源分配等领域具有广泛应用，能够有效地解决复杂的优化问题。

内点法和KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）

内点法是一种用于求解线性规划和非线性规划问题的优化算法。与单纯形法不同，单纯形法在可行域的边界上移动，而内点法在可行域的内部迭代，逐步逼近最优解。内点法在解决大规模优化问题时特别有效。

内点法的基本步骤

  1. 初始点选择：

    • 选择一个位于可行域内部的初始点。这个点通常不在约束边界上。
  2. 构建目标函数的障碍函数：
    • 为了确保迭代过程中始终位于可行域内部，内点法引入了障碍函数或势函数。这个函数在约束边界上趋于无穷大，从而“推动”解远离边界。
    \[\min \left( f(x) - \mu \sum_{i=1}^{m} \log(b_i - a_i^T x) \right)\]

    其中， $f(x)$ 是原目标函数，$\mu$ 是一个正参数， $ \sum \log(b_i - a_i^T x) $ 是障碍项。

  3. 迭代求解：

    • 通过牛顿法或其他数值优化方法，迭代求解更新决策变量 $x$ 的值，使其逐步逼近最优解。

  4. 更新参数 $\mu$：

    • 随着迭代进行，逐渐减小 $\mu​$ 的值，使得障碍函数对目标函数的影响逐步减少，从而更接近真实的优化问题。

  5. 检验收敛性：

    • 当优化问题满足一定的收敛标准（如梯度接近零或目标函数值变化足够小），终止迭代，得到最优解。

KKT条件是求解带约束优化问题的重要工具，广泛应用于非线性规划问题。KKT条件是拉格朗日乘子法的推广，适用于带有不等式和等式约束的优化问题。

KKT条件的适用问题

考虑以下优化问题：

\(\begin{array}{ll} \text{minimize} & f(x) \\ \text{subject to} & g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p \end{array}\) 其中，$f(x)$ 是目标函数，$g_i(x)$ 是不等式约束，$h_j(x)$ 是等式约束。

KKT条件的基本组成

  1. 拉格朗日函数：

    • 构建拉格朗日函数 $L(x, \lambda, \nu) $，其中 $\lambda$ 和 $\nu​$是拉格朗日乘子。
    \[L(x, \lambda, \nu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \nu_j h_j(x)\]

  2. 一阶必要条件（Stationarity Condition）：

    • 对拉格朗日函数求偏导，并令其等于零。
    \[\nabla_x L(x, \lambda, \nu) = \nabla f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^{p} \nu_j \nabla h_j(x) = 0\]
  3. 可行性条件（Primal Feasibility Condition）：
    • 决策变量 ( x ) 必须满足所有的约束条件。 \(g_i(x) \le 0, \quad i = 1, \ldots, m\\ h_j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p\)
  4. 对偶可行性条件（Dual Feasibility Condition）：
    • 拉格朗日乘子 ( \lambda ) 必须是非负的。
    \[\lambda_i \ge 0, \quad i = 1, \ldots, m\]
  5. 互补松弛条件（Complementary Slackness Condition）：
    • 每个不等式约束的拉格朗日乘子与该约束的函数值的乘积必须为零。
    \[\lambda_i g_i(x) = 0, \quad i = 1, \ldots, m\]

内点法和KKT条件在优化中的应用

  • 内点法：主要用于大规模优化问题，通过在可行域内部迭代，解决带有线性和非线性约束的优化问题。
  • KKT条件：用于求解非线性规划问题，是判断最优解的必要条件，也是数值优化算法的基础。

内点法和KKT条件是解决优化问题的两个重要工具。内点法通过在可行域内部迭代，逐步逼近最优解；而KKT条件提供了判断最优解的必要条件，广泛应用于非线性优化问题。通过合理应用这两种方法，可以有效地解决各种实际的优化问题。

投资组合问题优化

假设你目前已经有一定的初始资金，打算用于购买股票进行投资。目前市场上有很多可以交易的股票，但是你现在能获取到的信息是之前一些日期的Barra数据，该数据为一个RSK文件，里面是一个类似于表格的形式。Barra 模型是一种用于量化投资的风险管理和投资组合优化的工具。它通过一系列风险因子来评估股票的风险和预期回报。表格的列名表示了 Barra 模型中关于每只股票的各种重要信息，包括标识符、市场属性、风险因子和财务指标等。下面是 Barra 数据中各个列名的意义：

  1. BARRID：
    • Barra Identifier: Barra 给每只股票分配的唯一标识符。
  2. SEDOL：
    • Stock Exchange Daily Official List: 英国证券交易所分配的股票代码，用于唯一识别证券。
  3. LOCID：
    • Local Identifier: 本地市场对股票的唯一标识符。
  4. NAME：
    • Name: 股票或公司的名称。
  5. HBETA：
    • Historical Beta: 股票相对于市场的历史贝塔值，衡量股票相对于市场的波动性。
  6. PBETA：
    • Predicted Beta: 股票相对于市场的预测贝塔值。
  7. SRISK%：
    • Specific Risk Percentage: 股票特有风险的百分比。
  8. TRISK%：
    • Total Risk Percentage: 股票总风险的百分比，包括市场风险和特有风险。
  9. COUNTRY：
    • Country: 股票所属的国家。
  10. BETA：
    • Beta: 股票相对于市场的贝塔值。
  11. MOMENTUM：
    • Momentum: 股票的动量因子，衡量股票价格的上涨或下跌趋势。
  12. SIZE：
    • Size: 股票的规模因子，通常以市值表示。
  13. EARNYILD：
    • Earnings Yield: 股票的盈利收益率，通常为每股收益除以股票价格。
  14. RESVOL：
    • Residual Volatility: 剩余波动率，衡量股票在市场波动之外的波动性。
  15. GROWTH：
    • Growth: 股票的增长因子，衡量公司收益的增长潜力。
  16. BTOP：
    • Book-to-Price: 股票的账面价值与价格比率。
  17. LEVERAGE：
    • Leverage: 股票的杠杆因子，衡量公司的债务水平。
  18. LIQUIDTY：
    • Liquidity: 股票的流动性因子，衡量股票交易的流动性。
  19. SIZENL：
    • Size (Non-linear): 股票的非线性规模因子，衡量规模与市场表现的非线性关系。
  20. INDNAME：
    • Industry Name: 股票所属的行业名称。
  21. IND：
    • Industry: 股票所属的行业代码。
  22. PRICE：
    • Price: 股票的当前价格。
  23. CAPITALIZATION：
    • Capitalization: 股票的市值，通常为当前价格乘以已发行股票数。
  24. YLD%：
    • Yield Percentage: 股票的收益率百分比，通常为股息收益率。股息收益率仅考虑了股息收入，而忽略了股票价格上涨或下跌所带来的资本增值或损失。
  25. ESTU：
    • Estimation Universe: 用于模型估计的股票集合。
  26. ISOCURR：
    • ISO Currency: 股票交易的货币的 ISO 代码。
  27. INTRA_MONTH_ADDITION：
    • Intra-Month Addition: 是否在月中被加入估算范围的标记。

这些数据被用来分析和预测股票的表现，进行投资组合优化和风险管理。

评估投资组合的收益率和风险

在投资组合的评估中，收益率和风险是最值得关注的两个指标。投资组合的收益率计算方法很简单，就是投资的所有金融产品收益率的加权平均： \(E=\frac{\sum_{i=1}^nA_iE_i}{A_{sum}}=\sum_{i=1}^nw_iE_i,w_i=\frac{A_i}{A_{sum}},A_{sum}=\sum_{i=1}^nA_i\) 这里$E$是投资组合的收益率，$A_{sum}$是总投资资产，$A_i$是购买第$i​$个金融产品投入的资产。实际每个金融产品的收益率是随着市场波动的，准确估计收益还需要考虑风险因素。Barra系统提供了一系列风险因子，用于构建风险模型。这些因子可以分为几个类别：

  • 风格因子：如价值、动量、规模、流动性等。
  • 行业因子：如科技、金融、工业等不同行业。
  • 国家/地区因子：对于全球投资组合，考虑不同国家和地区的风险。

总的来说，投资组合的风险既包含了每个金融产品各自的方差与系数的乘积，也包含了两两产品之间的协方差项。也就是说，金融产品之间相关性越高，风险越大。 \(\sigma^2(E)=\sum_{i=1}^nw_i\sigma^2(E_i)+\sum_{i=1}^nw_iw_j\sigma(E_i,E_j)\) 这里还是用方差$\sigma^2$来表示风险，$w_i$是上面的资产配置权重。

投资组合配置

为了简单地说明凸优化算法在投资组合配置上的应用，这里先给出一个简单的示例，只考虑最大化收益率约束的情况下如何进行投资。首先来安装一下计算时需要的python包，运行以下命令：

pip install pandas,cvxpy,seaborn

安装成功之后接下来开始按照处理的逻辑进行编程。首先对文件中的信息进行读取，因为rsk文件格式与csv略有不同，所以需要自己写一个读取函数来对文件进行处理，下面给出一个函数实现来将rsk文件中的数据读取到dataframe中。

import pandas as pd
from datetime import datetime

def read_rsk(filepath):
    '''自定义rsk文件读取函数
    参数：rsk文件路径
    返回值：读取到的表格作为dataframe和数据的日期
    '''
    # 打开文件并读取内容
    with open(filepath, 'r') as file:
        lines = file.readlines()
    # 自定义解析逻辑
    # 
第一行为日期，第二行为列名，第三行开始是数据，每行以逗号结束，每列数据用逗号分开
    # 使用 strptime() 解析日期字符串
    data_date = datetime.strptime(lines[0].strip(), "%d%b%Y")

    data = []
    for i in range(2,len(lines)):
        fields = lines[i][:-2].strip().split(',') 
        data.append(fields)
    
    # 创建 DataFrame
    col_names = lines[1][:-2].strip().split(',')
    col_names = [s.replace('"', '') for s in col_names]
    df = pd.DataFrame(data, columns=col_names)
    return df, data_date

if __name__ == '__main__':
    df,data_date = read_rsk('D:\\CNE5S_X_210816.RSK')
    print(df.head())
    print(df.columns)
    print(df.shape)
    print(data_date)

可以看到单个文件中包含6817条股票数据，但是每两个数据是重复的，我们选择删除偶数行的重复数据，代码如下：

# 删除偶数行
df_odd_rows = df.iloc[1::2]
# 重建索引
df_odd_rows.reset_index(drop=True, inplace=True)
df = df_odd_rows

类似的数据清洗操作在数据预处理中是很常见的。接下来为了方便计算，我们选取头部50条作为示例进行计算。假设我们现在有100万元人民币，如何进行投资配置能使得收益率最高呢？这里我们定义50个自变量，作为每个股票购买的数量，当然这里数量必须是整数，所以这个问题是一个整数规划问题。

import cvxpy as cp 

# 数据类型转换
df['PRICE']=df['PRICE'].astype(float)
df['EARNYILD']=df['EARNYILD'].astype(float)
df['TRISK%']=df['TRISK%'].astype(float)
# 定义投资成本
invest_assets = 1000000

# 定义变量为整数
x = cp.Variable(30,integer=True)

# 定义目标函数
objf = df['PRICE'][0]/invest_assets*x[0]*df['EARNYILD'][0]
for i in range(1,30):
    objf = objf + df['PRICE'][i]/invest_assets*x[i]*df['EARNYILD'][i]
objective = cp.Maximize(objf)

# 定义约束
tmp=0
constraints = []
for i in range(30):
    constraints.append(x[i]>=0)
    tmp = tmp + x[i]*df['PRICE'][i]
constraints.append(tmp<=invest_assets)

# 定义问题
prob = cp.Problem(objective, constraints)

# 求解问题
prob.solve()

print(f"Optimal value: {prob.value}")
print(f"Optimal solution: {x.value}")
max30 = df['EARNYILD'][:30].idxmax()
print(df['EARNYILD'][:30])
print('max: {}'.format(max30))

从程序打印结果来看，这里选择把所有的资金投入到受益最高的股票中，也就是索引为31的股票，它的收益率最高达到了2.605！为了更直观地查看收益率，我们把横坐标设置成索引，纵坐标设置成收益率，画出柱状图，代码如下:

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

data = df[["NAME",'EARNYILD','TRISK%']][:50]
sns.barplot(x=data.index, y='EARNYILD', data=data)
plt.show()

代码运行后可以看到索引为31的股票收益率最高，所以整数规划问题的解将所有的钱都拿来买该支股票了。

当然在实际的应用中，每个股票会有以这种价格购入多少的限制，导致并非能将资金全部购买该股票，以及其它一些风险的约束。在投资组合优化中，常见的约束条件主要包括以下几类：

  1. 预算约束：

    • 资金总量约束：投资组合中所有资产的总投资金额不能超过可用资金总量。

    \(\sum_{i=1}^{n} w_i \leq 1\) 其中，$ w_i $ 表示资产 $ i ​$ 的投资比例。

  2. 资产比例约束：

    • 资产比例非负约束：投资组合中的每个资产比例必须是非负的，即不能进行空头操作。 \(w_i \geq 0 \quad \forall i\)
    • 个别资产的上下限约束：对某些特定资产设置最小和最大的投资比例。 \(L_i \leq w_i \leq U_i \quad \forall i\) 其中， $L_i$ 和 $U_i$ 分别表示资产 $ i ​$ 的最小和最大投资比例。

  3. 多样化约束：

    • 行业或部门约束：限制投资组合中某些行业或部门的总投资比例，避免过度集中在某个行业。 \(\sum_{i \in \text{Industry}_j} w_i \leq U_{\text{Industry}_j} \quad \forall j\) 其中，$U_{\text{Industry}_j}$ 表示行业 $ j $ 的最大投资比例。

  4. 风险约束：

    • 风险容忍度约束：限制投资组合的总风险水平，例如总方差或波动率。 \(\sigma_p \leq \sigma_{\text{max}}\) 其中，$\sigma_p$表示投资组合的总风险，$\sigma_{\text{max}}$ 表示允许的最大风险水平。

  5. 收益约束：

    • 最低收益率约束：要求投资组合的预期收益率至少达到某个水平。 \(r_p \geq r_{\text{min}}\) 其中, $r_p$表示投资组合的预期收益率，$r_{\text{min}}​$ 表示最低预期收益率。
  6. 流动性约束：
    • 流动性限制：确保投资组合中的一定比例投资于高流动性资产。 \(\sum_{i \in \text{Liquid}} w_i \geq L_{\text{min}}\) 其中，$L_{\text{min}}$ 表示高流动性资产的最小投资比例。

  7. 社会责任和环境、社会及治理（ESG）约束：

    • ESG标准：投资组合需要符合特定的社会责任或环境、社会及治理标准。例如，不投资于某些不符合ESG标准的公司。

这些约束条件在优化模型中被用来确保投资组合不仅能够满足投资者的预期收益和风险偏好，还能够符合现实中的各类限制和要求。

下面我们在上面的投资组合问题基础上加入一些其它约束，来看看效果。只需要在定义约束部分加入新的约束，这里我们选择风险的策略，设置加权的TRISK%约束不超过30，代码如下：

# 定义约束
tmp=0
tmp2=0
constraints = []
for i in range(50):
    constraints.append(x[i]>=0)
    tmp = tmp + x[i]*df['PRICE'][i]
    tmp2 = tmp2 + x[i]*df['PRICE'][i]/invest_assets*df['TRISK%'][i]
    constraints.append(x[i]<=20000)
constraints.append(tmp<=invest_assets)
constraints.append(tmp2<=30)
constraints.append(tmp>=900000)

同时加入了投入资产至少为90万的约束和每支股票最多购买20000股的限制，接下来解规划问题后可以画出投资配置的柱状图，代码如下：

sns.barplot(x=data.index, y=x.value)
plt.show()

从图中结果可以看到，大部分资金都投入到收益率较高的31股票中，以及风险较低的5、19等股票中。在实际的投资中，还有很多其它的约束需要考虑，所以会更加复杂，甚至会出现无解的情况。针对具体的问题还需要读者灵巧应变和思考。

接下来我们使用alpha因子的模型数据带入作为预测收益进行投资组合配置，并用实际收益来验证。首先拿到portfolio.feather文件后，先查看格式和读取方法。后缀名为 .feather 的文件是一种高效的、跨语言的列式存储文件格式，通常用于存储和传输大数据集。它由 Apache Arrow 项目开发，提供高效的序列化和反序列化性能。

要打开 .feather 文件，可以使用 Python 中的 Pandas 库。首先需要安装依赖，由于之前我们已经安装过pandas库，这里只需要再安装一下pyarrow即可：

pip install pandas pyarrow

接下来就可以直接读取和查看文件了，还是类似上面的查看方式：

df = pd.read_feather('D:\\portfolio.feather')
print(df.head())
print(df.columns)
print(df.shape)

从结果中可以看到，该数据包含'date','stkcd','alpha001','alpha002','INDUSTRY_CODE','close','re','re5'共8列数据，分别是日期、股票代码、alpha因子1、alpha因子2、工业代码、收盘价、实际收益率、5天实际收益率，一共有1216047行。另外，我们需要关注一下是否有数据是缺失的，具体就是在表格对应位置上有NaN(Not a Number)的部分。为了应对这种情况，大致有三种思路：

  1. 直接丢弃
  2. 设置为0或者某个固定的数值
  3. 参考相邻数据后填入

方便起见，我们直接选择丢弃该数据，pandas库中直接给出了相应的函数dropna()。

# 检查NaN
count_nan = df.isnull().sum()
# 打印结果
print('Number of NaN values in the dataframe: \n' + str(count_nan))
# 去掉NaN的行
df = df.dropna()

接下来，我们先从日期入手，看看一共有多少日期。

udt = df['date']
udt = np.unique(udt)
print(udt)

从输出来看，表格中包含2022-12-29至2024-04-29的数据。为了方便查看，我们定义一个单日数据筛选的函数：

def getDataOfDate(dt, df):
    filtered_df = df[df['date'] == dt]
    # 重建索引
    df_reset = filtered_df.reset_index(drop=True)
    return df_reset

这样就可以针对单日的数据进行处理了。其中，输入dt为需要获得的日期，df是汇总的数据，函数返回输入日期当天的数据。在丢弃Nan数据后，一些索引会出现错乱，所以不要忘了重建一下索引。此处在单日数据获取中，顺便将匹配日期后的dataframe一起进行处理。

alpha因子是对某一支股票的评分参考，评分越高越符合我们的预期。alpha因子的值是由其它方法进行建模和计算得到的，先不用深究它的计算，这里我们将它作为投资优化的权重参考进行计算。类似地，我们根据上面单日的数据进行投资组合的计算，定义出约束规划的函数：

def day_portfolio_calc(df, stk_num, factor):
    # 定义投资成本
    invest_assets = 1000000

    # 定义变量为整数
    x = cp.Variable(stk_num, integer=True)

    # 定义目标函数
    price = df['close'][:stk_num]
    fac = df[factor][:stk_num]
    objf = cp.sum(cp.multiply(fac, cp.multiply(price, x))) / invest_assets
    objective = cp.Maximize(objf)

    # 定义约束
    constraints = [cp.sum(cp.multiply(price, x)) <= invest_assets, x>=0, 
x[i]<=2000, cp.sum(cp.multiply(price, x)) >= 900000]


    # 定义问题
    prob = cp.Problem(objective, constraints)

    # 求解问题
    prob.solve()

    print(f"Optimal value: {prob.value}")
    print(f"Optimal solution: {x.value}")

    # 实际收益率
    dre = df['re'][:stk_num]
    real_re = np.sum(x.value * price * dre) / invest_assets
    print(f'Real Earnings Yield: {real_re}')
    
    return real_re

这里我们定义了输入的单日数据df和股票数量stk_num以及因子factor，用来调整股票数量和选取因子。返回值是该投资组合真正的收益率。作为比较和参考，我们同时计算一下单日内股票的平均收益率，函数定义如下：

def day_mean_ey(df, stk_num):
    m_re = np.mean(df['re'].head(stk_num))
    print(f'Mean Earnings Yield: {m_re}')
    return m_re

输入是单日内的数据df以及股票数量，返回平均收益率。为了更好地展示结果，我们可以把计算得到的收益率画出来，按照日期时间的顺序进行排列，代码如下：

    re1 = []
    re2 = []
    dm_re = []

    for dstr in udt:
        dtdf = getDataOfDate(dstr,df)
        print(dtdf.head())
        print(df.columns)
        print(dtdf.shape) 
        re1.append(day_portfolio_calc(dtdf, 50, 'alpha001'))
        re2.append(day_portfolio_calc(dtdf, 50, 'alpha002'))
        dm_re.append(day_mean_ey(dtdf, 50))


    res = {
        'date': udt.tolist() * 3,
        'value': re1 + re2 + dm_re,
        'category': ['alpha001'] * len(udt) + ['alpha002'] * len(udt) + ['mean'] * len(udt)
    }

    res_df = pd.DataFrame(res)
    plt.figure()
    sns.lineplot(data=res_df, x='date', y='value', hue='category')
    plt.title('Earnings Yield of Diffrent Portfolios')
    plt.xlabel('Date')
    plt.ylabel('Real Earnings Yield')
    plt.grid(True)
    plt.legend(title='Category')
    plt.show()

最后可以根据实际的收益曲线对因子的质量进行评价。其它关于收益的问题可以参考CAPM模型，可以和标普或者沪深三百指数的权重进行比较来加入约束条件，对市场的超额收益进行评估。

参考文献

  1. S. Nash and A. Sofer, Linear and Nonlinear Programming,. McGraw-Hill, New York(1996)
  2. J. A. Nelder and R. Mead, “A Simplex Method for Function Minimization.” Computer J. 7, 308-313(1965)
  3. ChatGPT4-o
  4. https://www.kaggle.com/code/quillquill/python

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